お葬式は親と同じ宗教やお寺を選ばないといけないの？

いいえ、そのようなことはありません。

しかし、親が信仰していた宗教なのだから…。先祖から代々続いてきた家の宗教を変えられない…。このように考える人は多いと思います。
死後という世界を考えれば、自分は死後どこへ行くのか、先に亡くなった親はどこに行ったのか、親と違う宗教を選んでしまったら同じところに行けないのか、などと今のうちに考えてみることも大切なことです。
お葬式は人生最後の大切な儀式です。送る側の都合ではなく、亡き人が生前信仰していた宗教で葬儀を行うことが本当ではないでしょうか。